Giga-Física: Péndulo Simple

Un péndulo simple es un sistema idealizado constituido por una partícula de masa $m$ que esta suspendida en un punto fijo O mediante un hilo inextensible y sin peso como se muestra en la figura. las ecuaciones que rigen el movimiento son:

\begin{eqnarray}
\theta(t) &=& \theta_0 \sin(\omega_0 t+\phi)\\
\omega(t) &=& \omega_0\theta_0 \cos(\omega_0 t+\phi)\\
\alpha(t) &=& -\omega_0^2\theta_0 \sen(\omega_0 t+\phi)

\end{eqnarray}

Cinemática del Péndulo Simple:

Aplicamos la segunda ley de Newton:

\begin{eqnarray}
\sum F_{T}&=& m a_{T}
\end{eqnarray}

esta ecuación nos indica que las fuerzas que vamos a tener en cuenta para el estudio del movimiento es en la dirección tangencial. donde $F_{T}$ es la fuerza tangencial, $m$ es la masa de la partícula y $a_{T}$ es la aceleración tangencial que se puede calcular mediante la siguiente relación:

\begin{eqnarray}
a_{T} &=& l\alpha\\
a_{T} &=& l\frac{d^2\theta}{dt^2}\\
\end{eqnarray}

donde $l$ es la longitud de la cuerda, $\alpha$ es la aceleración angular. combinando la ecuación (1), y (3) y ademas, remplazando las fuerzas tangenciales que existen en el sistema pendular tenemos,

\begin{eqnarray}
-mg\sin(\theta) &=& ml\frac{d^2\theta}{dt^2}\\
\frac{d^2\theta}{dt^2} +\frac{g}{l}\sin(\theta)&=& 0
\end{eqnarray}

esta ultima ecuación, nos da a concluir que el movimiento del péndulo simple no es armónico simple debido a que la ecuación diferencia no es lineal.

Ahora, si tenemos en cuenta ángulos pequeños se puede hacer la segunda aproximación,

\begin{eqnarray}
\sin(\theta) &\approx& \theta
\end{eqnarray}

según algunos autores esto se cumple para ángulos menores que $18°$. si combinamos la ecuación (5) y (6), obtenemos,

\begin{eqnarray}
\frac{d^2\theta}{dt^2} +\frac{g}{l}\theta &=& 0
\end{eqnarray}

con esta aproximación la ecuación (7) cumple con las condiciones de la ecuación diferencial para decir que el movimiento que estamos estudiando es armónico simple (La ecuación diferencial es homogénea, lineal y de segundo orden).

La frecuencia angular y el periodo del movimiento del péndulo simple se pueden calcular mediante la siguiente relación,

\begin{eqnarray}
\omega^2 &=& \frac{g}{l}\\
T &=& 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}
\end{eqnarray}

como vemos, podemos concluir que el periodo de oscilación del péndulo simple no depende de la masa.

La siguiente animación nos puede ayudar a resolver algunos problemas y comprender un poco mas el tema,

En el siguiente link puede descargar la aplicación flash (http://adf.ly/wB4Ij)

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Problemas

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Problema 1: El periodo de un péndulo es de 3 seg. ¿cual sera su periodo si su longitud (a) aumenta (b) disminuye en un 60%?

Solución:

Datos: Periodo = T = 3 seg;

(a) aumenta en un 60% de su longitud inicial
la longitud del péndulo ahora es,